求和公式¶
求和公式及其性质¶
给定有限数列 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)，其中 \(n\ge 0\)，记有限和
\[
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+···+a_n
\end{equation}
\]
若 \(n=0\)，定义该和式值为 \(0\)。
给定无限数列 \(a_1,a_2,\cdots\)，将其无限和 \(a_1+a_2+···\) 记作
\[
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_k
\end{equation}
\]
等差级数¶
\[
\begin{equation}
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1) =\Theta(n^2)
\end{equation}
\]
平方和与立方和¶
\[
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}
\end{equation}
\]
几何级数¶
对实数 \(x\ne 1\)，和式
\[
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{n}x^k=1+x+x^2+···+x^n
\end{equation}
\]
称作几何级数（或指数级数），其值为
\[
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{n}x^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}
\end{equation}
\]
当 \(n\) 趋于无穷且 \(|x|\lt 1\) 时，有
\[
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x}
\end{equation}
\]
级数积分与微分¶
对式 \((8)\) 积分可得
\[
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{\infty}kx^k=\frac{x}{(1-x)^2}
\end{equation}
\]
参考¶
- Cormeo T H, et al. 算法导论. 原书第 3 版. 附录 A.